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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
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Práctica 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

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1. Graficar, hallar conjunto de positividad, negatividad, imagen y asintotas.
k) f(x)=−2ex+1f(x)=-2 e^{x}+1

Respuesta

Si ya viste el video de funciones exponenciales que te dejé en el curso, entonces ya podés venir a resolver los ejercicios. ¡Empecemos!
Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes. Hallemos el conjunto de ceros: −2ex+1=0 -2 e^{x}+1=0 −2ex=−1-2 e^{x}=-1 ex=12e^{x}=\frac{1}{2}  
x=ln⁡(12)x=\ln \left(\frac{1}{2}\right) 
• C0=ln⁡(12)C^{0} = \ln \left(\frac{1}{2}\right) 
  Por cierto, ln⁡(12)≈−0,693...\ln \left(\frac{1}{2}\right) \approx -0,693..., pero es mejor dejarlo escrito de la primera forma y nunca en número decimal (a tus profes no les gusta).



Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. Como C0=ln⁡(12)C^{0} = \ln \left(\frac{1}{2}\right) , eso significa que la función cruza al eje xx una vez, es decir que tendremos que dividir el dominio y evaluar para los dos intervalos: (−∞,ln⁡(12))(-\infty, \ln\left(\frac{1}{2}\right))  y  (ln⁡(12),+∞)(\ln\left(\frac{1}{2}\right), +\infty) es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa.
Tomamos un valor cualquiera dentro del primer intervalo y evaluamos la función: f(−1)=−2e−1+1=0,2642f(-1)=-2 e^{-1}+1=0,2642


Hacemos lo mismo para el segundo intervalo:
f(0)=−2e0+1=−1f(0)=-2 e^{0}+1=-1

Por lo tanto nos queda: • C+=(−∞,ln⁡(12))C^{+} = (-\infty, \ln\left(\frac{1}{2}\right))  

• C−= (ln⁡(12),+∞)C^{-} = (\ln\left(\frac{1}{2}\right), +\infty)  Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio: −2ex+1=y−2ex=y−1ex=y−1−2x=ln⁡(y−1−2)y−1=ln⁡(x−1−2) \begin{gathered} -2 e^{x}+1=y \\ -2 e^{x}=y-1 \\ e^{x}=\frac{y-1}{-2} \\ x=\ln \left(\frac{y-1}{-2}\right) \\ y^{-1}=\ln \left(\frac{x-1}{-2}\right) \end{gathered} Para hallar su dominio, analizamos el argumento. x−1−2>0x−1<0x<1 \begin{gathered} \frac{x-1}{-2}>0 \\ x-1<0 \\ x<1 \end{gathered} Domf−1=(−∞;1)Domf^{-1} = (-\infty ; 1) 
• Imf=(−∞;1)Imf =(-\infty ; 1)  Asíntotas verticales: No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio. • No hay AV Asintotas Horizontales:

lim⁡x→∞−2ex+1=−∞ \lim _{x \rightarrow \infty}-2 e^{x}+1=-\infty Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: lim⁡x→−∞−2ex+1\lim _{x \rightarrow-\infty}-2 e^{x}+1 → lim⁡x→−∞−2(e−∞)+1=−2(1e∞)+1=−2(1∞)+1=−2(0)+1=1\rightarrow \lim _{x \rightarrow-\infty}-2\left(e^{-\infty}\right)+1=-2\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)+1=-2\left(\frac{1}{\infty}\right)+1=-2(0)+1=1

 • Hay AH en y=1y=1 por izquierda





La gráfica nos quedaría así: 


2024-05-08%2013:11:38_7816467.png

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Irina
12 de febrero 0:47
Hola profe! Hay un error de tipeo, decis que no hay logaritmo de un número negativo pero el argumento es positivo
0 Responder
Julieta
PROFE
12 de febrero 16:47
@Irina Gracias Iri🥰
0 Responder